公開サーバと非公開サーバの違いは何でしょうか？

サーバにも色々と種類がありますが、webサーバに関していうと、
ULRさえ入力すれば、誰もがどの様な回線からでも使用（閲覧）できるのが公開webサーバ。
企業や組織内に設置され、限定されたPCまたは人が、企業・組織内LANまたはVPN、広域イーサネット等の限定された回線でしかアクセスできないのが非公開webサーバ。
どの様な回線からでもアクセスできるが、限定されたPCまたは人しか使用できないのは会員制公開webサーバといった感じの分類になるかと思います。