(Wikipedia 関係代数 (関係モデル)より)

関係代数（かんけいだいすう、リレーショナル代数、英: relational algebra）は、関係データベースの関係モデル （リレーショナルモデル）において、集合論と一階述語論理に基づいて、関係 （リレーション、表、テーブル）として表現されたデータを扱う、コンピュータ科学における代数的な演算の体系である。

関係として表現されたデータに対して行う演算体系としては、関係論理（関係計算）とこの項目で説明する関係代数の2種類が知られている。
関係代数と関係論理は、主にエドガー・F・コッドによって考案され、その後コッドを含めた関係データベース（関係モデル）の研究者たちが発展させてきた。

現在では、関係代数の演算子としては、和、差、交わり (交差) 、直積、制限 (選択) 、射影、結合、商の8種類が言及されることが多い。
ただし属性名変更や拡張、要約などこの他の演算子も考案されている。

関係代数を実装したデータベース言語（問い合わせ言語）としては、SQL や Tutorial D などが挙げられる。
ただし SQL については、関係代数を完全な形で実装していないとして批判する意見がある。

数学的に純粋な関係代数は、数理論理学や集合論と比較して、代数的構造をなしている。

制限

制限（restriction）は、選択（selection）ともいい、ある関係から、指定した条件に合う組の集合を関係として返す。

前提

どの条件式の要素も比較可能であり、比較演算子θを使って条件式が記述されていること。

例

定義

Rを関係とすると、制限は次のように定義される。

|\(\sigma_\varphi(R) := \{ \ t : t \in R, \ \varphi(t) \ \}\)
\(\varphi\) は次のような条件式である。
なお、θは一般的な比較演算子 (<、?、=、>、?、<>) である。

• 属性と定数の比較の条件式: 属性 θ 定数
• 属性同士の比較条件式: 属性 θ 属性
• 比較条件式に論理演算記号 (∧、∨、¬) を適用したもの

SQL

SELECT * FROM R WHERE A = 1

Tutorial D

R WHERE A = 1

射影

射影（projection）演算は、ある関係から属性を限定した関係を返す。
射影演算は、Rを構成する属性集合から、いくつかの属性を抽出する。
βを抽出する属性の集合とすると、射影は、π_β(R) もしくは R[β] と記述することができる。

前提

射影演算で指定された属性が、対象となる関係に含まれていること。

例

定義

Rを関係とし、Rは {A₁, …, A_k} として属性をもつとする。
また、β ⊆ {A₁, …, A_k} とする (βはRの全属性の部分集合である属性の集合) 。

|\(\pi_{\beta}(R):=\{t_{\beta}|t \in R\}\)

t_β := (β) は、βを構成する属性集合だけからなる組を意味する。

SQL

SELECT A, B FROM R

Tutorial D

R { A, B }